ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ АКТУАРИЕМ ПЕНСИОННОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

 
 
  • Аннуитет – платеж, осуществляемый с заданной периодичностью в течение определенного промежутка времени. В пенсионном обеспечении термин «аннуитет» часто употребляют в значении «пенсия». По частоте выплат аннуитет может быть годовой, ежемесячный, и т.д. По продолжительности – пожизненный или срочный (то есть уплачиваемый в течение определенного периода времени). При выплате в начале периода речь идет об аннуитете пренумерандо, в конце периода - постнумерандо.

 

  • Процентная ставка, дисконтная ставка, коэффициент дисконтирования, простой и сложный проценты, накопленная стоимость, приведенная стоимость, современная стоимость серии платежей, индексирование.

Процентная ставка определяется в экономической теории как цена денег, то есть цена, которую надо заплатить держателю денег для того, чтобы он отказался от потребления сегодня (то есть от немедленного использования денег) и отложил его на определенный период времени. При этом предполагается, что капитал С сегодня эквивалентен капиталу плюс проценты С+I через этот период времени. Процентная ставка обозначается, как правило, через i и выражена в процентах.

 

Начисление простого процента: предполагается, что процент выплачивается только один раз за период кредита (займа) и проценты рассчитываются пропорционально времени кредита (займа); I= i t С .

 

Как правило, формулу простого процента используют при начислении инвестиционного дохода за год (и, в основном, когда речь идет о финансовых краткосрочных операциях длительностью до года).

 

Пример 1. На пенсионном счете на 1 января 2005 года было 100 тысяч рублей, последний взнос в размере 25 тысяч рублей был выплачен 1 апреля 2005 года. Какой инвестиционный доход I надо начислить в конце года на счет, если ставка начисленного инвест. дохода составляет 8%.

 

I = 100 * 0,08 + 25 * 0,08 * 274/365 = 8 + 25 * 0,0601 = 8+1,501 = 9,50

Накопленный пенсионный капитал на 31 декабря 2005 года равен 100 + 25 + 9,5 = 126,50

 

Начисление сложного процента: процент начисляется по окончании каждого периода при этом простой процент, полученный в конце предыдущего периода, прибавляется к основному капиталу и в свою очередь генерирует проценты. Таким образом, в конце первого периода значение капитала равно:

С1= С0+ I1010+ i С01(1+ i),

в конце второго периода проценты начисляются уже не на С, а на С1, таким образом:

С21+I11+ iС11(1+ i)= С0(1+ i)(1+ i)=С10(1+ i)2.

 

И так далее, к концу k года значение капитала с начисленными процентами равно СK0(1+i)к.

 

Капитал СK называют также накопленная стоимость капитала С0. Операция капитализации позволяет перейти от сегодняшней стоимости капитала С0 к его стоимости в будущем путем начисления процентов.

Капитал С0 называют также приведенная или современная стоимость капитала СK. Операция приведения или дисконтирования позволяется перейти от стоимости капитала Ск в будущем к его сегодняшней стоимости. Операция дисконтирования является обратной по отношению к операции капитализации, используемый при этом коэффициент называется коэффициентом дисконтирования v=1/(1+i), а i = дисконтной ставкой.

 

С0= СK/(1+i)к= СK vк.

 

Пример 2.

Для обеспечения пенсии своего отца г-н Иванов-Младший положил на его пенсионный счет в НПФ «Третий возраст» 100 тыс. рублей 1 января 2005 года. Пенсионные основания Иванова-Старшего наступят 1 января 2009 года. Минимальная гарантированная доходность НПФ «Третий возраст» - 5% годовых.

1. Какой капитал будет накоплен к моменту выхода на пенсию Иванова-Старшего, если начисляемый ежегодно инвест. доход равен минимальной гарантированной доходности (начисление процентов происходит один раз в год по итогам года).

2. Если сверх минимальной гарантированной доходности Фонд ежегодно начисляет 5% (то есть реальный ежегодный инвест. доход равен 10%)?

3. Какую сумму надо положить на счет 1 января 2005 года, чтобы к 1 января 2009 года получить тот же капитал, при условии, что Фонд начисляет только минимальный инвест. доход.

 

Решение.

Продолжительность периода накоплений – 4 года (2005-2008).

1. Применяем формулу сложных процентов. Накопленный капитал на 1 января 2006 года – 105 тыс. рублей. Накопленный капитал на 1 января 2009 года 100*(1+5%)4 = 100*1,2155=121,55 тыс.руб.

2. Накопленный капитал на 1 января 2009 года 100 *(1+10%)4 = 100*1,4641=146,41 тыс.руб.

3. Для получения накопленного капитала в 146,41 тыс.руб. на 1 января 2009 года при ежегодном начислении 5% дохода в течение 4 лет, 1 января 2004 года Иванов-Младший должен внести на счет 146,41/1,054 = 120,45 тыс. рублей.

 

120,45 тыс рублей являются современной стоимостью 146,41 тыс рублей при дисконтной ставке 5% и сроке инвестирования 4 года.

 

Современная стоимость серии платежей.

До сих пор речь шла о единовременном внесении капитала. При периодическом платеже взносов, каждый платеж можно рассматривать как единовременный, применив к нему формулу сложных процентов (продолжительность периода накоплений будет, естественно, разной для каждого взноса), а в конце просуммировать полученные результаты капитализации. Обозначив периодический платеж через F (платеж в начале периода)

Капитализированная стоимость первого платежа к концу k лет будет равна F1' = F1 (1+i)к

Капитализированная стоимость второго платежа к концу k лет будет равна F2' = F2 (1+i)(к-1)

Капитализированная стоимость всех платежей к концу k лет будет равна сумме F' , заметим, что при равенстве периодических платежей F мы получаем сумму убывающей геометрической прогрессии

(формула суммы n первых членов геометрической прогрессии Sn= (b1qn –b1)/(q-1), где b1 - первый член геометрической прогрессии, q – знаменатель, n – общее число членов.)

 

СK = t=0 n-1 Ft (1+ i)n-t = F (1+ i)((1+ i)n –1/ i )= F ¨sin

 

Пример 2 (продолжение).

4. Каков будет накопленный капитал к 1 января 2009 года, если Иванов-Младший ежегодно 1 января (с 2005 по 2008 года) вносит по 25 тысяч рублей на счет своего отца при ежегодном начисляемом доходе в 5%.

5. Каков должен быть ежегодный взнос для получения капитала на 1 января 2009 года в размере 146,41 тысяч рублей.

 

Решение.

4. СK = 25 *1,05 *(1,054 –1)/0,05 = 113,14 тыс рублей

5. А = 146,41/ ((1,05*(1,054-1)/0,05) =32,35 тыс рублей

 

Отметим, что таким образом взносы рассчитываются в сберегательных схемах на этапе накопления, предусматривающих наследование на периоде накопления; вероятность дожития участника не учитывается при расчетах – в данном случае Фонд несет риск только по обеспечению заявленной гарантированной доходности.

 

Операция внесения взносов симметрична операции выплат со счета. Задача может иметь несколько постановок, в зависимости от того, какие из переменных фиксированы и какие мы стремимся вычислить:

  • располагаемый капитал на момент выхода на пенсию,

  • продолжительность выплат,

  • периодичность (мы для простоты будем считать, что периодичность годовая),

  • размер выплаты.

Взаимосвязь между этими переменными такова : современная стоимость потока рентных платежей должна соответствовать накопленному капиталу, находящемуся на пенсионном счете участника на момент выхода на пенсию.

 

У каждого платежа, который мы совершим в будущем, есть современная стоимость, равная Р/(1+i)t или Рvt, а сумма таких дисконтированных платежей и дает нам общую стоимость ренты на начало периода.

С = t=0 n-1 Рvt = P (1+i) ((1-1/(1+i)n)/i,

Современная стоимость единичных рентных платежей равна (1+i) ((1-1/(1+i)n)/i,

 

Пример 2 (продолжение)

6. Г-н Иванов выбрал для своего отца срочную схему с выплатой пенсии в течение 8 лет раз год в начале года. Каков размер периодической пенсии при условиях (1)? (2)?, при накопленном капитале (2) а затем ставка 5%?

 

Решение

P = C i/ ((1+i) (1-1/(1+i)n)

 

P = 121,55 *0,05/ 1,05(1-1/1,058) = 121,55/6,79 = 17,91

P = 146,41 *0,1/ 1,1(1-1/1,18) = 146,41/5,87 = 24,95

P = 146,41 *0,05/ 1,05(1-1/1,058) = 146,41/6,79 = 21,57

 

Обратим внимание, что в данном случае идет расчет пенсионной выплаты без учета индексирования (то есть без обязательного ежегодного увеличения размера платежа для принятия в расчет инфляции). Если договором гарантирована ежегодная индексация, это обязательно надо принять во внимание при расчете пенсии. При предположении о будущем уровне инфляции в 5%, например, современная стоимость единичных рентных платежей будет также равна 8 годам.

 

В таблице приведены три примера :

1.Положение текущего счета при расчете пенсии при норме доходности 5% без последующего индексирования. Сальдо счета равно нулю к концу периода выплат.

2. Положение текущего счета при расчете пенсии при норме доходности 5% с последующим индексированием на уровне 5%, не учтенном при первоначальном расчете. Сальдо счета отрицательно последний год выплат.

3.Положение текущего счета при расчете пенсии при норме доходности 5% с последующим индексированием на уровне 5%, учтенном при расчете. Сальдо счета равно нулю к концу периода выплат.

 

Сальдо индивидуального счета участника при учете ежегодной индексации выплат.

  Без индексации Неучтенная индексация Учтенная индексация
Год 1.Пенс. счет 1.Пенсионные выплаты 1.Пенс. счет 1.Пенсионные выплаты 1.Пенс. счет 1.Пенсионные выплаты
1 121,55 17,91 121,55 17,91 121,55 15,19
2 108,82 17,91 108,82 18,81 111,67 15,95
3 95,46 17,91 94,52 19,75 100,51 16,75
4 81,42 17,91 78,51 20,73 87,94 17,59
5 66,69 17,91 60,67 21,77 73,87 18,47
6 51,22 17,91 40,84 22,86 58,17 19,39
7 34,98 17,91 18,88 24,00 40,72 20,36
8 17,92 17,91 -5,38 25,20 21,38 21,38
  0,0   -30,58   0,00  

  

 

  • Таблица смертности, вероятность дожития pх, вероятность смерти qх, средняя ожидаемая продолжительность жизни ех

Таблица смертности представляет собой серию числовых данных, упорядоченная по возрастам в убывающем порядке, отражающая ожидаемой количество живых для каждого возраста на 100 000 родившихся. Первые таблицы смертности были построены еще в 17 веке, а сегодняшнюю их форму они приняли благодаря английскому математику Галлею.

См также раздел «Актуарные предположения».

 

Более формальное представление таблицы смертности: рассмотрим 100 000 человек возраста 0 (родившиеся). Из наблюдений установлено, что в среднем за первый год жизни умирает 2408 детей, то есть до возраста 1 год доживает только 91952 человека, а до 100 лет – только 41 человек. Вероятность умереть в возрасте до года, обозначаемая q0, равна q0= 2408/100000=0,02408, а вероятность дожить до года p0 = 1- q0=0, 97592 (нижний индекс всегда указывает на возраст, для которого приведена данная величина).

 

Кроме того, таблица смертности позволяет рассчитать среднюю ожидаемую продолжительность предстоящей жизни для участника в возрасте х как сумму участников в возрасте от х+1 до последнего возраста, указанного в таблице, деленное на число участников возраста х.

 

Пример 1. Выдержки из таблицы смертности мужского городского населения РФ. 1986-1987

Х - возраст Lх численность населения возраста х Dхчисленность умерших в возрасте х
Dх = Lх – Lх+1
Qх вероятность умереть в возрасте х
Qх= Dх / Lх
Рх Вероятность дожить до возраста х+1
Pх = 1Qх
Ехожидаемая продолжительность жизни
0 100 000 2 408 0,02408 0,97592 65,79
1 97 592 271 0,00278 0,99722 66,40
2 97 321 107 0,00110 0,9989 65,58
3 97 214 74 0,00076 0,99924 64,65
           
20 96 032 144 0,00150 0,9985 48,33
           
60 71 761 2 020 0,02815 0,97185 15,03
           
100 41 41 1 0 0,5

 

Современная стоимость единичных рентных платежей с учетом дожития для возраста х – данный коэффициент, обозначаемый ах, отражает современную стоимость потока рентных платежей, но вероятность каждого платежа не равна 1, а зависит от вероятности дожития получателя до момента платежа.

Если классическая формула современных рентных платежей, как мы видели, выглядит так (выплаты в начале периода):

 

S = 1 + 1/(1+i)+1/(1+i)2+ …+ 1/(1+i)n

 

То теперь для каждого члена вводится вероятность дожития

 

ах=Lх/Lх*1+Lх+1/Lх*1/(1+i)+ Lх+2/Lх*1/(1+i)2+ …+ Lх+n/Lх*1/(1+i)n = wk=0 Lх+k/Lх vk

 

Отметим, что современная стоимость единичных рентных платежей зависит от двух параметров : используемая таблица смертности, которая определяет вероятность дожития до каждого возраста, и актуарная норма доходности. Эти параметры еще называют актуарными предположениями и к их выбору необходимо относиться очень внимательно. (см раздел «Актуарные предположения»)

 

Пример 2. Ожидаемая продолжительность жизни и современная стоимость единичных рентный платежей, рассчитанные по таблице смертности городского населения РФ. 1986-1987 и 1992 года.

  1986-87   1992-1993   Увеличение при смене таблицы
  М Ж   М Ж   М Ж
Ожидаемая прод-ть жизни при рождении 65,79 74,29   62,49 73,81   5,3% 0,7%
Ожидаемая прод-ть жизни в 60 лет 15,03 19,42   14,42 19,32   4,3% 0,5%
Соврем. Ст-ть един. Ренты в 60 лет а60, 10% 7,58 8,67   7,44 8,66   1,9% 0,1%
Соверм. Ст-ть един. ренты в 60 лет а60, 6% 9,59 11,35   9,35 11,33   2,6% 0,2%
Соверм. Ст-ть един. ренты в 60 лет а60, 3% 11,92 14,60   11,55 14,57   3,3% 0,2%

 

При анализе таблице обращают на себя внимание следующие зависимости:

  • Продолжительность жизни при рождении и в возрасте 60 лет не получаются друг из друга простой математической операцией, так как ожидаемая продолжительность жизни для 60 летних рассчитывается только для тех, кто дожил до этого возраста.

  • Таблица 1986-87гг. более консервативна, чем 1992-1993гг, так как она предусматривает большую продолжительность жизни для каждого возраста.

  • Использование ставки дисконтирования 10% делит ожидаемую продолжительность жизни приблизительно пополам (по сравнению с отсутствием дисконтирования).

  • Уменьшение ставки дисконтирования на 1 процентный пункт (например, с7% до 6%) увеличивает обязательства на 7-8% при неизменной таблице.

 

  • Премия брутто / премия нетто

Нетто премия соответствует т.н. «чистой премии», то есть актуарной стоимости ожидаемых выплат.

 

Брутто-премия или коммерческая премия – это нетто - премия с нагрузкой на риск, административные и другие расходы

 

По закону 75-ФЗ в новой редакции Фонд вправе направлять часть взноса (не более 3% от пенсионного взноса) на финансирование административных издержек фонда. Таким образом, размер чистого пенсионного взноса (после вычета нагрузки, предназначенной на оплату услуг Фонда), на пенсионный счет вкладчика поступает : Сl = С'l (1-g) гдеС'l - брутто премия.

 

  • Пенсионные резервы

Пенсионные резервы это совокупность средств, находящихся в собственности Фонда и предназначенных для исполнения Фондом обязательств перед Участниками в соответствии с Пенсионными договорами.

Закон различает нормативные или расчетные пенсионные резервы, соответствующие размеру пенсионных обязательств Фонда и фактические пенсионные резервы (то есть активы, находящиеся в собственности Фонда и размещенные на рынке). Эти последние создаются Фондом для обеспечения выполнения своих обязательств по выплате негосударственных пенсий.

 

Пенсионные резервы включают в себя резервы покрытия пенсионных обязательств (математические резервы, то есть расчетные обязательства Фонда по пенсионным выплатам), в том числе резерв пожизненных выплат, и страховой резерв.

 

Пенсионные резервы формируются за счет пенсионных взносов, дохода от размещения пенсионных резервов, целевых поступлений.

 

Фонд осуществляет размещение пенсионных резервов через управляющую компанию, имеющую необходимые разрешения (лицензии), а в случаях, предусмотренных действующим законодательством – самостоятельно.

 

Размещение пенсионных резервов осуществляется в соответствии с Планом размещения пенсионных резервов, ежегодно принимаемым (уточняемым) Советом Фонда. План размещения пенсионных резервов определяет направления и порядок размещения пенсионных резервов Фонда. План размещения пенсионных резервов должен соответствовать действующему законодательству РФ. Размещение пенсионных резервов осуществляется на принципах:

  • надежности,

  • сохранности,

  • ликвидности, - особенно важно, особенно на этапе накопления, когда, в принципе у Вкладчика постоянно есть возможность расторгнуть договор и потребовать выплату выкупной суммы

  • доходности и (отметим, что высокая доходность и высокая доходность несовместимы, именно для этого Совет Фонда и определят инвестиционную стратегию).

  • диверсификации исключительно в целях их сохранения и прироста в интересах Участников Фонда.

Состав пенсионных резервов должен соответствовать определенным ограничениям, направленным на диверсификацию портфеля и ограничение уровня его риска.

 

  • Страховой резерв формируется Фондом в целях обеспечения устойчивости исполнения обязательств перед Участниками и используется исключительно для пополнения недостающих резервов покрытия пенсионных обязательств.

Страховой резерв формируется за счет части дохода от размещения пенсионого резерва, целевых поступлений на формирование страхового резерва, средств для обеспечения уставной деятельности фонда, остатка денежных средств на пенсионных счетах вкладчиков, образовавшиеся после осуществления выплаты выкупных сумм. Страховой резерв формируется после формирования в полном объеме резерва покрытия пенсионных обязательств. Страховой резерв входит в состав пенсионных резервов.

 

Минимальный размер страхового резерва составляет 5% от резерва покрытия пенсионных обязательств. Максимальный размер страхового резерва ограничен размером резерва покрытия пенсионных обязательств.

 

  • Пенсионные обязательства НПФ

Пенсионные обязательства Фонда это чистая современная стоимость ожидаемых выплат по действующим договорам пенсионного обеспечения, т.е. разница между современной стоимостью ожидаемых выплат и взносов.

 

Расчет обязательств проводится по каждому договору, затем по каждой схеме, затем в целом по Фонду.

  • На этапе накопления для схем с установленными взносами, как правило, обязательства Фонда ограничены размером средств на пенсионном счете (уплаченные взносы и накопленный инвестиционный доход)

  • На этапе накопления для схем с установленными выплатами размер чистых обязательств Фонда рассчитывается как разница между современной стоимостью ожидаемых пенсионных выплат и ожидаемой современной стоимостью пенсионных взносов.

Если с момента заключения договора не была изменена актуарная норма доходности и при соблюдении вкладчиком схемы взносов, размер обязательств равен остатку средств на счете.

  • На этапе выплат для схем до исчерпания средств на счете размер обязательств Фонда ограничен остатком средств на счете.

  • На этапе выплат для схем со срочными выплатами размер обязательств Фонда равен современной стоимости оставшихся пенсионных выплат:

Если с момента определения пенсии не была изменена актуарная норма доходности, то размер обязательств равен остатку средств на счете (для полностью фондируемой схемы).

  • На этапе выплат для схем с пожизненными выплатами - размер обязательств Фонда равен современной стоимости оставшихся ожидаемых пенсионных выплат с учетом вероятности дожития, рассчитанной в соответствии с таблицей смертности, применяемой Фондом:

На этапе выплат расчет пенсионных обязательств Фонда для схем со срочными и пожизненными выплатами одинаков, вне зависимости от того, идет ли речь о схеме с установленными взносами или с установленными выплатами, так как на этапе выплат размер пенсии, ее продолжительность и периодичность уже жестко установлены.

 

Для солидарных схем обязательства рассчитываются так же, как и для индивидуальных участников, в зависимости от типа схемы.

 

  • Коэффициент фондируемости обязательств Фонда отражает уровень покрытия пенсионных обязательств Фонда пенсионными накоплениями. Коэффициент фондируемости рассчитывается для определения риска фонда в случае несоблюдения Вкладчиком схемы взносов.

 

КФ = Пенс. накопления / Обяз-ва по пенс. выплатам

 

Пример. Вкладчик назначил участнику 60 лет (М) пожизненную пенсию в размере 12 000 рублей в год. Современная стоимость пенсии равна 119,8 тысяч рублей (под 5%). На солидарном счете вкладчика только 100 тысяч рублей. Каков коэффициент фондируемости счета?

КФ = 100/119,8 = 83%.

 

В соответствии с уровнем фондируемости различают:

  • Полностью фондируемые схемы: размер накопленных обязательств Фонда полностью покрыт пенсионными накоплениями на счете.

  • Частично фондируемые схемы: для участников схем на этапе накопления с установленными выплатами или участников на этапе выплат размер пенсионных накоплений меньше накопленных обязательств фонда (как в приведенном примере).

При расчете обязательств по частично фондируемым схемам необходимо обратить внимание, как прописаны обязательства Фонда при несоблюдении вкладчиком установленного плана взносов:

  • Обязательства Фонда являются условными, т.е. ограничены размером средств на солидарном счете и поставлены в зависимость от соблюдения Вкладчиком плана взносов.

  •  Обязательства Фонда являются безусловными и не зависят от взносов Вкладчика в будущем. В данном случае Фонд должен предусмотреть резерв покрытия нефондируемой части своих обязательств.

 


В началоКонтактыПоискКарта сайта


Пенсионный консультант © 2004 Все права защищены.
 
Счетчик посещаемости и статистика сайта